Calcul de l'espérance, de la variance et de l'écart-type

Rappel

Soit  $X$  une variable aléatoire réelle qui prend les valeurs  $x_1$ ,  $x_2$ , ...,  $x_k$ . 
L'espérance de  $X$  est alors :  $E(X)=x_{1}P(X=x_1)+x_{2}P(X=x_2)+\cdots +x_{k}P(X=x_k)$ .
Sa variance vaut alors $V(X)=E[(X-E(X){)}^2]$  et son écart-type vaut $\sigma (X)=\sqrt{V(X)}$ .

Exercice

1. Expliquer pourquoi les fonctions suivantes permettent bien de calculer respectivement l'espérance, la variance et l'écart-type d'une variable aléatoire dont la loi est donnée  par les listes x et p en argument.

from math import sqrt

def esperance(x, p):
    e = 0
    for i in range(len(x)) :
        e = e + x[i] * p[i]
    return e

def variance(x, p):
    e = esperance(x, p)
    x_var = [(x_k - e)**2 for x_k in x]
    v = esperance(x_var, p)
    return v

def ecart_type(x, p):
    v = variance(x, p)
    return sqrt(v)

2. À l'aide des fonctions précédentes, déterminer $E(X)$ ,  $V(X)$ (ne pas oublier ici que Python commet des erreurs d'approximation !) ainsi qu'une valeur approchée de  $\sigma (X)$ à  ${10}^{-2}$ près lorsque  $X$ est une variable aléatoire dont la loi est donnée ci-dessous.

$\begin{array}{|ccccc|}\hline k& -1& 2& 3& 7\\ P(X=k)& 0,1& 0,2& 0,3& 0,4\\ \hline\end{array}$