Calcul de l'espérance, de la variance et de l'écart-type

Rappel

Soit  \(X\)  une variable aléatoire réelle qui prend les valeurs  \(x_1\) ,  \(x_2\) , ...,  \(x_k\) . 
L'espérance de  \(X\)  est alors :  \(E(X) = x_1P(X=x_1)+x_2P(X=x_2) + \dots + x_k P(X=x_k)\) .
Sa variance vaut alors \(V(X)=E[(X-E(X))^2]\)  et son écart-type vaut \(\sigma(X)=\sqrt{V(X)}\) .

Exercice

1. Expliquer pourquoi les fonctions suivantes permettent bien de calculer respectivement l'espérance, la variance et l'écart-type d'une variable aléatoire dont la loi est donnée  par les listes x et p en argument.

from math import sqrt

def esperance(x, p):
    e = 0
    for i in range(len(x)) :
        e = e + x[i] * p[i]
    return e

def variance(x, p):
    e = esperance(x, p)
    x_var = [(x_k - e)**2 for x_k in x]
    v = esperance(x_var, p)
    return v

def ecart_type(x, p):
    v = variance(x, p)
    return sqrt(v)

2. À l'aide des fonctions précédentes, déterminer \(E(X)\) ,  \(V(X)\) (ne pas oublier ici que Python commet des erreurs d'approximation !) ainsi qu'une valeur approchée de  \(\sigma(X)\) à  \(10^{-2}\) près lorsque  \(X\) est une variable aléatoire dont la loi est donnée ci-dessous.

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline k&-1&2&3&7\\ \hline P(X=k) & 0,1 & 0,2 & 0,3 & 0,4 \\ \hline \end{array}\)